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在另一个坐标系中表达当前坐标系所描述的变换 (change of basis)

例 1： 在一个坐标系中是 $\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right]$, 它的特征值通过 $det(A-\lambda I)=0$ 求得 3 和 2。

然后代入 $(A-\lambda I)\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}$，可知两个特征向量分别为 [t,0] 和 [t,-t] (t 可以取任意实数)

所以我们取特征值 $\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$, $\left[\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right]$ 组合为基变换矩阵，对它进行线性变换后，再左乘基变换矩阵的逆。

$${\left[\begin{array}{ccc}1& & -1\\ 0& & 1\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{ccc}3& & 1\\ 0& & 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}1& & -1\\ 0& & 1\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& & 0\\ 0& & 2\end{array}\right]$$

如公式所示，从右往左看，先对特征向量矩阵进行线性变换（左乘 A 矩阵），只是对它进行了伸缩，结果就是 $\lambda B$

然后再左乘 $B^{-1}$, 所以得到的结果是对角矩阵 $\lambda E$

例 2：

在一个坐标系中是 $\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 1\end{array}\right]$, 计算它的 n 次幂并不容易

因为算出 $A^2{A}^3{A}^4$ 发现结果符合斐波那契数列数列的规律

于是我们尝试将它转换到另外一个坐标系中的对角矩阵，

$${\overrightarrow{\mathbf{v}}}_1=[\begin{array}{c}2\\ 1+\sqrt{5}\end{array}]{\overrightarrow{\mathbf{v}}}_2=\left[\begin{array}{c}2\\ 1-\sqrt{5}\end{array}\right]$$

可以算出它的两个特征向量，使用 inv(V)*A*V 分别右乘特征矩阵，左乘特征矩阵的逆，可得

$B=\left[\begin{array}{cc}\frac{1+\sqrt{5}}{2}& 0\\ 0& \frac{1-\sqrt{5}}{2}\end{array}\right]$

$$B^n=(inv(V)\times A\times V{)}^n=inv(V)\times A^n\times V$$

所以求解 $A^n=V\times B^n\times inv(V)$ 验证可得 A^5= V*(B^5)*inv(V) 结果如下，与之前得到的 A^5 结果相同

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OveDuke

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